12.4 Calculer une approximation de π

En fait, un résultat connu de théorie des nombres établit que la probabilité que deux entiers pris au hasard soient premiers entre eux est de ≈ 0,6079. Pour essayer de retrouver ce résultat, voilà ce que l’on va faire :

• Prendre deux nombres au hasard entre 0 et 1 000 000.
• Calculer leur pgcd
• Si leur pgcd vaut 1. Rajouter 1 à une variable compteur.
• Répéter l’expérience 1000 fois
• La fréquence des couples de nombres premiers entre eux s’obtiendra en divisant la variable compteur par 1000 (le nombre d’essais).

 
 pour test
 # On initialise la variable compteur à 0
 donne "compteur 0
 repete 1000 [
   si (pgcd hasard 1000000 hasard 1000000)=1 [donne "compteur :compteur+1]
 ]
 ecris [frequence:]
 ecris :compteur/1000
 fin
 

Note : De même que précédemment, On est obligé de mettre des parenthèses sur pgcd hasard 1000000 hasard 1000000, sinon l’interpréteur va chercher à évaluer 1 000 000 = 1. Pour éviter ce problème de parenthésage, écrire : si 1=pgcd hasard 1000000 hasard 1000000



On lance le programme test.

 test
 0.609
 test
 0.626
 test
 0.597

On obtient des valeurs proches de la valeur théorique de 0,6097. Ce qui est remarquable est que cette fréquence est une valeur approchée de .

Si je note f la fréquence trouvée, on a donc : f ≈

Donc π² ≈ et donc π ≈.

Je m’empresse de rajouter cette approximation dans mon programme, je transforme la fin de la procédure test :

 
 pour test
 # On initialise la variable compteur à 0
 donne "compteur 0
 repete 1000 [
   si 1=pgcd hasard 1000000 hasard 1000000 [donne "compteur :compteur+1]
 ]
 # On calcule la frequence
 donne "f :compteur/1000
 # On affiche la valeur approchée de pi
 ecris phrase [approximation de pi:] racine (6/:f)
 fin
 test
 approximation de pi: 3.164916190172819
 test
 approximation de pi: 3.1675613357997525
 test
 approximation de pi: 3.1008683647302115

Bon, je modifie mon programme de tel sorte que quand je le lance, je précise le nombre d’essais souhaités. J’ai dans l’idée d’essayer avec 10000 essais, voilà ce que j’obtiens sur mes trois premières tentatives :

 pour test :essais
 # On initialise la variable compteur à 0
 donne "compteur 0
 repete :essais [
   si 1=pgcd hasard 1000000 hasard 1000000 [donne "compteur :compteur+1]
 ]
 # On calcule la frequence
 donne "f :compteur/:essais
 # On affiche la valeur approchée de pi
 ecris phrase [approximation de pi:] racine (6/:f)
 fin
 
 test 10000
 approximation de pi: 3.1300987144363774
 test 10000
 approximation de pi: 3.1517891481565017
 test 10000
 approximation de pi: 3.1416626832299914
                                                                                                  
                                                                                                  

Pas mal, non?