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\usetikzlibrary{automata,fit,trees,matrix,arrows,decorations.pathmorphing,shapes.arrows,chains,positioning}
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\captionsetup{labelformat=empty,font=footnotesize}

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% \usepackage{cclicence}
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\usepackage{algo}

\renewcommand{\algocommentfont}{\small\ttfamily\itshape}

\newcommand\nor{\downarrow}
\newcommand\nand{\mid}


\newcommand\blanc{ \square{} }



\newcommand\vide{\mathds{1}}



\newtheorem{exercice}{Exercice}


\setlength{\columnseprule}{0pt}


\graphicspath{{/home/moi/Lycee/TDmaple/2006_7/}{/home/moi/Figures/Arbres_Graphes/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Lycee/Informatique/XCAS/2008_9/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2008_9/}{/home/moi/IUT/Thierry/Conversions/}{/home/moi/Photos/informathix/}{/home/moi/Lycee/Informatique/PafAlgo/}}



\newcommand\sage{\lstset{numbers=none,language=sage,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\small\color{green!50}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\small\ttfamily\color{white},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape\color{black!50!white},breaklines=true,backgroundcolor=\color{black!80!gray},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}
}


\newcommand\xc{\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\small\color{green!50}\bfseries,basicstyle=\small\ttfamily\color{white},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape\color{black!20!white},breaklines=true,backgroundcolor=\color{black!80!gray},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b,morecomment=[l]//}
}

\DeclareMathOperator*{\boxsum}{\raisebox{-0.6ex}{\scalebox{2.5}{$\boxplus$}}}





\setcounter{tocdepth}{2} %\setcounter{page}{0}


\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}


\mode<presentation>
{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}
\usepackage{elephantbird}



\begin{document}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{XCAS au service des mathématiques dans l'enseignement secondaire}

\subtitle{Séminaire IREM/APMEP - Bordeaux}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{\textsc{IREM} de Nantes}% (optional, but mostly needed)

\logo{\includegraphics[scale=0.15]{logoirem}}

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Jeudi 24 janvier 2013}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }


\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\AtBeginSubsubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}




\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}







\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}



\section{XCAS?}

\subsection{Qu'est-ce que c'est?}

\begin{frame}
\begin{itemize}


\item Bernard \textsc{Parisse}



\item Giac \pause C++

\pause

\item XCAS 

\pause

\item Renée \textsc{De Graeve} 



\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{Qu'est-ce que ça fait?}

\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item calcul formel;
  \item géométrie (dynamique) dans le plan et l'espace;
  \item  programmation  \pause   français/anglais  \pause  impérative
    \pause un peu fonctionnelle;
  \item tableur dynamique;
  \item combinaisons de tout ça...
  \end{itemize}
\end{frame}


\subsection{Comment l'utiliser?}

\begin{frame} \frametitle{Interface XCAS}
  \begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.98\textwidth]{xcas_exemple_session}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame} \frametitle{Terminal}
  \begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.98\textwidth]{xcas_terminal}
\end{center}
\end{figure}
\end{frame}


\sage
\begin{frame}[fragile]\frametitle{Interface Python}

  \begin{lstlisting}[caption={}]
Python 2.7.3 (default, Sep 26 2012, 21:51:14) 
[GCC 4.7.2] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> from giacpy import *
>>> x = giac('x')
>>> (pi/6).cos()
sqrt(3)/2
>>> f = x.cos()
>>> f.int(x,0,2)
sin(2)
>>> f.diff()
-sin(x)
>>> (f.diff()).diff()
-cos(x)
  \end{lstlisting}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile] \frametitle{Interface Sage}
  \begin{lstlisting}[caption={}]
----------------------------------------------------------------------
| Sage Version 5.4.1, Release Date: 2012-11-15                       |
| Type "notebook()" for the browser-based notebook interface.        |
| Type "help()" for help.                                            |
----------------------------------------------------------------------
sage: solve(abs(11+2*I) - abs(x+1+5*I),x)
[abs(x + 5*I + 1) == 5*sqrt(5)]
sage: giac.resoudre(abs(11+2*I) - abs(x+1+5*I),x)
list[-11,9]
sage: %giac

  --> Switching to Giac <-- 

''
giac: resoudre(abs(11+2*I) - abs(x+1+5*I),x)
list[-11,9]
  \end{lstlisting}
\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{Interface \TeX macs}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.98\textwidth]{texmacs}
\end{center}
%\end{figure}
  
\end{frame}



\begin{frame} \frametitle{Interface Open Office}
  \begin{center}
  \includegraphics[width=0.75\textwidth]{xcas_ooo}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{XCAS en ligne}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.98\textwidth]{xcas_en_ligne}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame} \frametitle{etc...}
  libgiac
\end{frame}



\section{Géométrie}
\xc

\begin{frame} \frametitle{Un exercice de seconde}
  \begin{exercice}
    On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AC=3$ et $AB=4$. Soit $M$ un point quelconque du segment $[AC]$. On construit le rectangle $AMNP$ tel que $N$ appartienne à $[BC]$ et $P$ à $[AB]$.
Étudiez l'aire du rectangle $AMNP$ en fonction de la position de $M$.  
  \end{exercice}
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{Un exercice de seconde}
  \begin{center}
  \includegraphics[width=0.98\textwidth]{xcas_geo_dyn}
\end{center}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]\frametitle{Un exercice de seconde}
  

Commençons par ouvrir une fenêtre de géométrie en tapant simultanément
sur  \keystroke{Alt} + \keystroke{G}  puis  définissons  les points  A  et B  dans un  repère
judicieusement  choisi.   On  utilise  \verb+point(x,y)+  (   ou  même
\verb+point(z)+ pour les terminales ): 

\begin{lstlisting}[caption={}]
A := point(0,0) /* plaçons A */
B := point(0,-4) /* plaçons B tel que AB = 4 en laissant le 1er quadrant libre pour y tracer la courbe à la fin de la séance */
\end{lstlisting}


\pause

   Définissons ensuite le point C tel que le triangle ABC soit direct,
   rectangle en A  et que l'on ait $ AC=\frac{3}{4}AB$  à l'aide de la
   commande \verb+triangle_rectangle+: 

   \begin{lstlisting}[caption={}]
triangle_rectangle(A,B,3/4,C)
   \end{lstlisting}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]\frametitle{Un exercice de seconde}
  
 Créons maintenant un réel quelconque de $[0;3]$ que l'on puisse faire
 varier à  la souris  à l'aide  de la  commande \verb+supposons  (t := [valeur de départ,mini,maxi])+:

 \begin{lstlisting}[caption={}]
supposons(t := [1,0,3])
M := point(t,0)
 \end{lstlisting}

\pause

 Pour définir N,  commençons par définir la perpendiculaire en  M à la
 droite  (AC).  La   syntaxe  est  tout  à  fait   naturelle  grâce  à
 \verb+perpendiculaire(Point,Droite)+. C'est bien ce  que l'élève doit tracer
 sur sa feuille de papier pour tracer le rectangle: 


 \begin{lstlisting}[caption={}]
d := perpendiculaire(M,droite(A,C))
N := inter_unique(d,droite(B,C))
 \end{lstlisting}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]\frametitle{Un exercice de seconde}
  \begin{lstlisting}
D := parallele(N,droite(A,C))
P := inter_unique(D,droite(A,B))
R := polygone(A,P,N,M)
couleur(R,jaune+rempli)
  \end{lstlisting}
\pause
\begin{lstlisting}
Surf := aire(R)
                        -4/3*t^2+4*t
X:=point(t,Surf)
graphe(Surf,t=0..3,couleur=bleu)
\end{lstlisting}
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]\frametitle{Un exercice de seconde}

  \begin{lstlisting}[caption={}]
longueur(A,P),longueur(A,M)
                       -(t*4)/3+4,t
evalf(longueur(A,P) , longueur(A,M))
                       2.0,1.5
f := unapply(Surf,t)
                       (t)->-4*t^2/3+4*t
resoudre(f'(t) > 0 , t)
                       list[t<(3/2)]
  \end{lstlisting}

\end{frame}


\section{Preuve d'un théorème}


\begin{frame}
Les coniques ne  sont plus au programme de terminale  mais sont encore
sources d'inspiration pour des activités.  Nous allons ici nous occuper d'un théorème
concernant  le tracé  de la  tangente à  une conique  et le  prouver à
l'aide de  XCAS ce qui  n'est possible  qu'avec un logiciel  de calcul
formel.  

\end{frame}


\begin{frame}
\begin{theorem}[Construction de la tangente à une conique]
  Soit $  \Gamma$ une  conique de  foyer F  et de  directrice associée
  D. La tangente  à $ \Gamma$ en  tout point M qui  n'appartient pas à
  l'axe  focal   coupe  D  en   un  point  T   tel  que  l'on   ait  $
  \overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FT}=0$ 
\end{theorem}


\pause

\begin{exercice}[Énoncé adapté au théorème précédent]
  Soient a et b deux réels strictement positifs tels que $a>b$ et $f$ la fonction définie sur $[-a,a]$ par

$$\displaystyle f(x)=b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}$$

Notons $ \Gamma$ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Soit F le point de coordonnées $ (\sqrt{a^2-b^2}\ensuremath{\: ; }0)$ et D la droite d'équation $ x=\frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$ .
Montrez que la tangente à $ \Gamma$ en tout point M d'ordonnée non nulle coupe D en un point T tel que l'on ait $ \overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FT}=0$
\end{exercice}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
  \begin{lstlisting}[caption={}]
    f := x -> b*sqrt(1 - (x^2/a^2))
  \end{lstlisting}

\pause

\begin{lstlisting}[caption={}]
supposons(a > 0)
supposons(t > -a) et supposons(t < a)
M := point(t,f(t))
\end{lstlisting}


\pause

\begin{lstlisting}[caption={}]
d := droite(y = f'(abscisse(M))*(x - abscisse(M)) + ordonnee(M))
F := point(sqrt(a^2-b^2),0)
D := droite(x = a^2/sqrt(a^2-b^2))
T := inter_unique(d,D)
\end{lstlisting}

\pause

\begin{lstlisting}[caption={}]
p := produit_scalaire(vecteur(M,F),vecteur(T,F))
\end{lstlisting}


\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
  \begin{lstlisting}[caption={}]
afficher(p)
  \end{lstlisting}

\pause

{\tiny
$$(-t+\sqrt{a^{2}-b^{2}}) (\sqrt{a^{2}-b^{2}}-\frac{-a^{2} \sqrt{a^{2}-t^{2}} \sqrt{-b^{2}+a^{2}}}{(\sqrt{a^{2}-t^{2}} b^{2}+-a^{2} \sqrt{a^{2}-t^{2}})})-\sqrt{1-\frac{t^{2}}{a^{2}}}  b  -\frac{1}{(\sqrt{a^{2}-t^{2}} b^{2}-a^{2} \sqrt{a^{2}-t^{2}})}   (b^{3}  a+b  -a^{3}+\sqrt{-b^{2}+a^{2}}  t  b  a)$$
}
\pause

\begin{lstlisting}[caption={}]
simplifier(p)
                             0
\end{lstlisting}

\pause

\begin{lstlisting}[caption={}]
est_orthogonal(droite(M,F),droite(T,F))
                             1
\end{lstlisting}

\end{frame}

\section{Loi normale}


\begin{frame}[fragile]

  \begin{lstlisting}[caption={}]
supposons(xm := [40,-100,100])
supposons(N := [20,0,100])
tracer_aire(loi_normale(0,1,x),x = -xm..xm,N,point_milieu,couleur=jaune) 
  \end{lstlisting}
  


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6cm]{xcas_norm}
\end{center}
%\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]



\begin{lstlisting}[caption={}]
approx_mil(f,a,b,N):={
  local h,S,k;
  h := evalf((b-a)/N);
  S := 0;
  pour k de 1 jusque N faire
    S := S + h * f(a + (k-0.5)*h)
  fpour;
  retourne S
}:; 
\end{lstlisting}


\pause


\begin{lstlisting}[caption={}]
approx_mil(x -> loi_normale(0,1,x), -xm,xm,iPart(N))
                      0.985616238639
\end{lstlisting}


\end{frame}

\section{Calculs approchés d'intégrales par  la méthode de Monte-Carlo
  naïve}



\begin{frame}[fragile]
  \begin{lstlisting}[caption={}]
monte_carlo(primitive,xm,xM,ym,yM,nb_essais):={
  local essai,cpt,x,y,derivee;
  cpt := 0.;
  derivee := deriver(primitive);
  pour essai de 1 jusque nb_essais faire
    x := alea(xm,xM);
    y := alea(ym,yM);
    cpt := cpt + ( y <= derivee(x) ) ;
  fpour;
  retourne(cpt/nb_essais)*(xM-xm) }
  \end{lstlisting}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]

\begin{lstlisting}[caption={}]
monte_carlo_sigma(primitive,xm,xM,ym,yM,nb_essais):={
  local k,liste;
  liste:=[seq(primitive(xM)-primitive(xm)-monte_carlo(primitive,xm,xM,ym,yM,nb_essais) , k = 1..1000)];
  retourne ecart_type(liste) }
\end{lstlisting}


\pause

\begin{lstlisting}[caption={}]
monte_carlo_sigma(x->ln(x),1,2,0,1,10000)
   Evaluation time: 112.6
        0.00433957839425
\end{lstlisting}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \begin{lstlisting}[caption={}]
monte_carlo_strat(primitive,xm,xM,ym,yM,nb_essais,echant):={
  h := evalf((xM-xm)/echant);
  P := NULL; app := 0;  xh := xm;
  derivee := deriver(primitive);
  pour tranche de 1 jusque echant faire
    cpt := 0;
    pour essai de 1 jusque nb_essais faire
      x := alea(xh,xh + h);
      y := alea(ym,yM);
      si  y <= derivee(x)  alors 
        P := P, point([x,y],couleur=tranche);
        cpt := cpt +1; 
      fsi;
    fpour;
    app := app + (cpt/nb_essais)*h;
    xh := xh + h;
  fpour;
  afficher(primitive(xM)-primitive(xm) + " vaut environ " + app);
  afficher("precision :" + (primitive(xM)-primitive(xm) - app));
  retourne(P) }
  \end{lstlisting}
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]

  \begin{lstlisting}[caption={}]
monte_carlo_strat(x->ln(x),1,2,0,1,10000,10)
  \end{lstlisting}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.7\textheight]{monte_carlo}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}



\section{Probabilités}

\subsection{Pile ou face?}



\begin{frame}[fragile]
  On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. On veut compter combien de
fois on obtient pile (ou face).


\pause


\begin{lstlisting}[caption={}]
frequences([(alea(2) + alea(2) + alea(2)) $ (k=1..1000000)])
\end{lstlisting}



\pause

En 5 secondes, un million de simulations donnent:

\begin{lstlisting}[caption={}]
[[0,0.125177],[1,0.374565],[2,0.375099],[3,0.125159]]
\end{lstlisting}

\pause

En  effet, on  peut vérifier  avec \verb+binomial(n,k,p)+  qui renvoie
$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$~:

\pause

\begin{lstlisting}
seq(binomial(3,k,0.5),k=0..3)
\end{lstlisting}

renvoie \verb+(0.125,0.375,0.375,0.125)+



\end{frame}


\subsection{Convergence en loi}

\begin{frame}
C'est présenté  un peu  antimathématiquement dans les  programmes mais
bon...

On peut illustrer la convergence en loi de la loi binomiale $\BR(n,p)$ vers le loi
normale $\NR(np,\sqrt{np(1-p)})$.
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]
  On  modélise  tout d'abord  la  loi  binomiale  à partir  d'une  loi
  uniforme:

  \begin{lstlisting}[caption={}]
binom(n,p):={
  somme([(alea(0,1) <= p) $ (k = 1..n)])
}:;
  \end{lstlisting}


\pause


On compare ensuite graphiquement:

\begin{lstlisting}[caption={}]
convergence(n,p):={
  m := n*p;
  s := sqrt(n*p*(1-p));
  histogram([binom(n,p) $ (k=1..20000)],0,s*0.3), graphe(loi_normale(m,s,x),x = m - 3*s..m + 3*s,couleur=bleu)  
}:;
\end{lstlisting}


\end{frame}


\begin{frame}
Pour $\BR(n,p)$ on obtient:



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.7\textheight]{conv_loi}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}





\subsection{Méthode de Box-Müller}

\begin{frame}
C'est aussi un peu malvenu d'en parler en terminale, mais bon...

On part de deux va indépendantes. Alors

$$
    \frac 1{\sqrt{2 \pi}^2} e^{- \frac{x^2 + y^2}2} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac 1{2 \pi} e^{- \frac {r^2}2} r \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta = \left( \frac 12 e^{- \frac s2} \mathrm{d}s\right) \left( \frac 1{2 \pi} \mathrm{d}\theta \right) 
$$

Alors S suit une loi exponentielle de paramètre 1/2 et $\Theta$ une moi uniforme sur $[0,2\pi]$.

Alors S peut  être générée par $-\frac{\ln U_1}{1/2}$  et $\Theta$ par
$2\pi U_2$ si  $U_1$ et $U_2$ sont deux var  indépendantes suivant une
loi uniforme sur $[0,1]$. 

On projette: $X= R \cos(\Theta) =\sqrt{-2 \ln U_1} \cos(2 \pi U_2)$.
 


\end{frame}





\begin{frame}[fragile]

  \begin{lstlisting}[caption={}]
histogram([(sqrt(-2*ln(alea(0,1)))*cos(2*pi*alea(0,1))) $ (k=1..100000)],0,0.1),graphe(loi_normale(0,1,x))
  \end{lstlisting}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.7\textheight]{box_muller}
\end{center}
%\end{figure}

  
\end{frame}


\begin{frame}[fragile]

  \begin{lstlisting}[caption={}]
moyenne([(sqrt(-2*ln(alea(0,1)))*cos(2*pi*alea(0,1))) $ (k=1..100000)])
                   -0.00124374528487
  \end{lstlisting}
  

\pause


\begin{lstlisting}[caption={}]
ecart_type([(sqrt(-2*ln(alea(0,1)))*cos(2*pi*alea(0,1))) $ (k=1..100000)])
                   1.00039929494
\end{lstlisting}

\end{frame}


\section{Lissage par moyennes mobiles}


\begin{frame}
  
Voici un  tableau qui donne l'extension  de la banquise au  minimum de
septembre de 1979 à 2012 ( \textsc{NSIDC} \textit{National Snow and Ice Data Center}):


{\tiny
\begin{center}
             \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{13}}
	     \whline
             An&79&80&81&82&83&84&85&86&87&88&89&90\\
             \hline
              $ {\text km}^2$&7.2&7.85&7.25&7.45&7.52&7.17&6.93&7.54&7.48&7.49&7.04&6.24\\
             \whline
             An&91&92&93&94&95&96&97&98&99&00&01&02\\
\hline
 $ {\text km}^2$&6.55&7.55&6.5&7.18&6.13&7.88&6.74&6.56&6.24&6.32&6.75&5.96\\
             \whline
An&03&04&05&06&07&08&09&10&11&12&&\\
\hline
 $ {\text km}^2$&6.15&6.05&5.57&5.92&4.3&4.68&5.63&4.9&4.34&3.6&&\\
             \whline
             \end{tabularx}\label{pol}
             \end{center}
}
\end{frame}





\begin{frame}
 \begin{definition}[moyenne mobile]
    On appelle  moyenne mobile d'ordre $k$ la  moyenne arithmétique d'un
    terme avec les $k$ termes voisins.
    \end{definition}

\begin{itemize}
\item si  $k$ est  impair, c'est-à-dire s'écrit  sous la  forme $k=2p+1$
  alors on  remplace chaque terme  par la moyenne  de ce terme,  des $p$
  termes suivants et des $p$ termes précédents~;
\item Si $k$ est pair,  c'est-à-dire s'écrit sous la forme $k=2p$, c'est
  moins évident~:~on remplace chaque terme  par la moyenne  de ce terme,  des $p$
  termes suivants et des $p$  termes précédents mais les termes extrêmes
  sont affectés d'un coefficient 1/2.
\end{itemize}

 \begin{definition}[Lissage par moyennes mobiles]
    Lisser une série chronologique c'est remplacer la série initiale par
    la série des moyennes mobiles.
    \end{definition}

\end{frame}


\begin{frame}

Par exemple, reprenons les données du tableau~\vref{pol} et effectuons
un  lissage  par  moyennes mobiles  d'ordre  5.  Il  y  a 30  termes  au
départ.  L'ordre 5 étant  impair, on  va remplacer  chaque terme  par la
moyenne de ce terme, des 2 précédents et des deux suivants: on est donc
obligé  de  commencer par  le  troisième terme  et  de  terminer par  le
vingt-huitième.

On                 remplacera                 alors                $t_3$
par \[t'_3=\frac{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5}{5}=\frac{5,3+5,5+4,95+5,13+5,37}{5}=5,25 \]

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
  \begin{lstlisting}[caption={}]
lmm(L,k):={
  X  := L[0];  Y := L[1];
  Xm := NULL; Ym := NULL;
  imax := size(X)-1;
  si k mod 2 == 0 alors
    p := k/2;
    pour j de p jusque imax-p faire
      Ym := Ym , (0.5*Y[j-p] + somme(Y[l],l,j-p+1,j+p-1) + 0.5*Y[j+p])/k;
      Xm := Xm , X[j];
    fpour; 
  sinon
    p := (k-1)/2;
    pour j de p jusque imax-p faire 
      Ym := Ym , (somme(evalf(Y[l]),l,j-p,j+p))/k;
      Xm := Xm , X[j];
    fpour;
  fsi;
  C :=  couleur(ligne_polygonale(X,Y),rouge):;
  Cm := couleur(ligne_polygonale([Xm],[Ym]),bleu):;
  retourne C,Cm }:;
  \end{lstlisting}
  
\end{frame}




\begin{frame}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{lmm}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}



\section{Comportement asymptotique des chaînes de Markov...}

\begin{frame}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.7\textheight]{raspou}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}



\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{abba}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}
  

Zlot, Brzxxz  et Morzgniouf sont trois villes  situées respectivement en
Syldavie, Bordurie et Bouzoukstan.  Des trafiquants de photos dédicacées
du  groupe  ABBA  prennent  leur  marchandise le  matin  dans  n'importe
laquelle de  ces villes  pour l'apporter le  soir dans  n'importe quelle
autre. On  notera pour  simplifier $V_1$, $V_2$  et $V_3$ ces  villes et
$p_{ij}$ la probabilité qu'une marchandise  prise le matin dans la ville
$V_i$   soit  rendue   le  soir   dans  la   ville  $V_j$.   La  matrice
$P=(p_{ij})_{{1\leqslant   i   \leqslant  3}\atop   {1\leqslant   j\leqslant   3}}$  est   appelée
\textit{matrice de transition} de la chaîne de \textsc{Markov}.

\end{frame}


\begin{frame}
  

\begin{definition}[Matrice stochastique]
  Une matrice dont  tous les coefficients sont positifs  ou nuls et dont
  la  somme  des  coefficients  de  chaque  ligne  vaut  1  est  appelée
  \textbf{matrice stochastique}.

Si, de plus, la somme des colonnes vaut 1, la matrice est dite \textbf{bistochastique}.
\end{definition}


\end{frame}


\begin{frame}

Voici le diagramme de transition des trafiquants suédophiles:


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten                 >=1pt,auto,node
  distance=5cm,semithick, bend angle=10]
\tikzstyle{every state}=[fill=white,draw=black,text=black,minimum height = 2em]
\tikzstyle{accepting}=[fill=blue!20,draw=black,text=blue,accepting right,double]
\tikzstyle{initial}=[fill=green!20,draw=black,text=red,initial by arrow,initial text=]
 

 \node[state] (A) {$V_1$};
 \node[state] (C) [below right of =A] {$V_3$};
 \node[state] (B) [below left of =A] {$V_2$};

 \path 
       (C) edge[bend left] node[below left] {0,2} (A)
       (A) edge[bend left] node[above right] {0,1} (C)
       (A) edge[loop above] node[above] {0,8} (A)
  (B) edge[bend left] node[above left] {0,3} (A)
       (A) edge[bend left] node[below right] {0,1} (B)
       (B) edge[loop below ] node[below ] {0,2} (B)
(C) edge[bend left] node[below] {0,6} (B)
       (B) edge[bend left] node[above] {0,5} (C)
       (C) edge[loop below ] node[below ] {0,2} (C)
       ;
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}


La matrice de transition est:


$$
\begin{pmatrix}
0,8&0,1&0,1\\
0,3&0,2&0,5\\
0,2&0,2&0,6
\end{pmatrix}
$$



\end{frame}

\begin{frame}

On notera  $x_i^{(k)}$ la proportion  de trafiquants qui se  trouvent au
matin du jour $k$ dans la ville $V_i$.


\begin{definition}[Vecteur d'état]
 On appelle
\textit{vecteur d'état}  tout élément $(x_1,...,x_n)$  de $\bbr^{n}$ tel
que $x_1+\cdots+x_n=1$. 
\end{definition}

Ainsi,  $x^{(k)}=\left(   x_1^{(k)},x_2^{(k)},x_3^{(k)}\right)$  est  un
vecteur d'état.


\pause


On démontre que 
$$\forall k \in \llbracket 1,n\rrbracket,\quad x^{(k)}= x^{(k-1)}\cdot P$$

puis que

$$\forall k \in \llbracket 1,n\rrbracket,\quad x^{(k)}=x^{(0)}\cdot P^k$$


\end{frame}







\begin{frame}

Supposons que le chef de la mafia locale dispose de 1000 trafiquants qui partent tous le matin du jour 0 de la ville de Zlot. Quelle sera la proportion de trafiquants dans chacune des villes au bout d'une semaine ? d'un an ? 

\pause

Il s'agit donc de calculer  des puissances successives de P.

\pause

On obtient les proportions au bout d'une semaine en 
calculant $ x^{(0)}\cdot p^7$ avec $x^{(0)}=\left(1000,0,0 \right)$.


\pause

Nous allons utiliser XCAS pour les longs calculs.

\end{frame}






\begin{frame}[fragile]
  
  \begin{lstlisting}[caption={}]
A := [[4/5,1/10,1/10],
     [3/10,1/5,1/2],
     [1/5,1/5,3/5]]

X := [1000,0,0]

X * A
                 [800,100,100]
evalf(X * A^7)
                [546.9038,144.5711,308.5251]
evalf(X * A^365)
                [536.585365854,146.341463415,317.073170732]
evalf(A^10000)
                [[0.536585365854,0.146341463415,0.317073170732],
                 [0.536585365854,0.146341463415,0.317073170732],
                 [0.536585365854,0.146341463415,0.317073170732]]
v := evalf(A^10000)[0]
                [0.536585365854,0.146341463415,0.317073170732]
v * A
                [0.536585365854,0.146341463415,0.317073170732]
  \end{lstlisting}


\end{frame}

\begin{frame}
 
Troublant....En fait, ce résultat se généralise.


\begin{definition}[Matrice de transition régulière]
Une matrice de transition A est dite régulière si, et seulement si, il
existe  un entier  naturel $r$  tel que  $A^r$ a  ses  coefficients tous
\textbf{strictement} positifs.
\end{definition}

\pause


\begin{theorem}[Théorème des chaînes de \textsc{Markov} régulières]
Soit A une matrice régulière. Il existe une matrice stochastique:

$$
A_{\infty}=\begin{pmatrix}
  a_1&a_2&\cdots&a_n\\
  a_1&a_2&\cdots&a_n\\
  \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
  a_1&a_2&\cdots&a_n\\
\end{pmatrix}
$$

telles que $ \displaystyle\lim_{n \to +\infty} A^n =A_{\infty}$.


De plus, $v=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ est l'unique vecteur d'état stationnaire
(tel que $v\cdot A=v$).
\end{theorem}
\end{frame}


\section{Méthode d'Euler}

\begin{frame}

Intégrons l'équation  différentielle $u'(t)=f(t,u(t))$  sur l'intervalle
$I_n$:

$$u(t_{n+1})-u(t_n)= \displaystyle\int_{t_n}^{t_{n+1}} f(s,u(s)) \;{\rm d} s $$

On  utilise alors  des  méthodes  d'intégration numériques  classiques
comme la  méthode des  rectangles ou  la méthode  du point  médian. On
choisit un pas constant de $h$.

\begin{itemize}
\item $u(t_{n+1})-u(t_n)= h\times f(t_n,u(t_n)) $;
\item  $u(t_{n+1})-u(t_n)=   h\times  f(t_n+h/2,u(t_n+h/2))   $.  Pour
  calculer  $u(t_n+h/2)$,  on  utilise une  approximation  du  premier
  ordre: $ u(t_n+h/2) -u(t_n)= (h/2)\times f(t_n,u(t_n)) $.
\end{itemize}

\end{frame}




\begin{frame}[fragile]

  \begin{lstlisting}[caption={}]
Euler1(F,N,a,b,yo):={
local S,X,Y,h,P,f,k;
S := NULL;
X := a; 
Y := yo; 
h := evalf((b-a)/N); 
pour k de 1 jusque N faire 
   Y := h*F(X,Y) + Y; 
   X := X + h; 
   P := point(X,Y); 
   S := S,P; 
fpour;
couleur(polygone_ouvert(S),bleu);
}:;
  \end{lstlisting}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
  \begin{lstlisting}[caption={}]
Euler2(F,N,a,b,yo):={
local S,X,Y,h,P,f,k;
S := NULL;
X := a; 
Y := yo;
h := evalf((b-a)/N);
pour k de 1 jusque N faire 
   Y := h*F(X + 0.5*h,Y + 0.5*h*F(X,Y)) + Y; 
   X := X + h; 
   P := point(X,Y); 
   S := S,P; 
fpour;
couleur(polygone_ouvert(S),vert);
}:;
  \end{lstlisting}
\end{frame}



\begin{frame}

Considérons le problème:

$$
\begin{cases}
  u'(t)=5u(t)-5,\quad t\in [0,50]\\
  u(0)=1
\end{cases}
$$

et   imaginons  une   petite   perturbation  de   la  valeur   initiale:
$u(0)=1+\varepsilon$.  On peut faire estimer $\widetilde{u}(50)-u(50)$ pour
$\varepsilon=10^{-12}$.






\end{frame}



\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: